马老师之前指导我搭了整体框架。
拓扑部分已经通了。
但从第3节开始，我在证明一个关键的收敛性引理时卡死了。
每次推到最后一步，积分估计就多出一个发散项，怎么都消不掉。”
学长翻到第3节，指着页面上密密麻麻的推导，语气不自觉地带上了一丝烦躁：“你看，我先构造了一个辅助函数作为试验函数，结合曲率张量的演化方程做能量估计。
理论上，只要能够建立这个辅助函数的一致有界性，就能推出我想要的那条收敛路径。
但我构造的函数在流形的非紧区域上没办法保证一致有界。”
云川没有急着翻页，先把摘要和引言快速扫了一遍，然后才细看第3节，指腹在纸面上一行一行地移动，脑子里迅速证明步骤推演了一遍。
“嗯…我看看。”
沙发上安静下来。
一群博士生眼巴巴望着云川。
过了会儿，云川拿起笔，在空白处画了一条流形示意图。
“问题的根源在辅助函数的选择上。
你现在用的这个截断函数只在紧致集合上有定义，到了非紧区域就失控了。
你真正需要的是一个光滑、紧支撑、而且在热方程半群作用下具有良好的衰减控制函数的测试函数族。
试一下选一族带截断的局部化函数。
每层截断函数做成标准的光滑紧支撑。
然后在紧致支撑集上做局部的曲率估计。”
云川顿了顿，笔走龙蛇，快速写出几行推演公式。
“关键是怎么控制截断后的远域项。
你在局部估计做完之后，不要让截断函数长期留在方程里，而是利用热核本身的衰减性质来处理边界项。”