“各位老师好，我是云川。
我的论文题目是《高余维极小曲面在加权sobolev空间中的紧性理论与almgren猜想的一个变体》。”
论文长度和密度让台下学长学姐倒吸凉气。
天阶斗技就这么水灵灵地亮出来。
云川看了眼5位正襟危坐的老师，缓缓开口，声音不高，掷地有声。
“极小曲面理论是几何测度论的核心分支之一。
它的研究对象是满足某种极小性条件的曲面。
经典的teau问题，即在给定边界条件下寻找面积最小的曲面——已经被解决，但高余维的情况要比余维一的情况复杂得多。
主要原因在于，高余维极小曲面可能出现奇异集，而这些奇异集的结构至今没有被完全理解。”
“almgren在他1999年的专著中，对高余维极小曲面的奇异集结构做出了开创性分析，证明了奇异集的hausdorff维数不超过n-2。
但他的证明依赖于一套极其复杂的非线性逼近理论。
技术难度极高。
后续学者在推广和应用时遇到了很多困难。
我这篇论文可以看作是对almgren理论框架的一种简化和推广。”
好，前言介绍结束，开始动真格。
云川扒拉了一下鼠标，ppt翻到第4页。
“我引入了一个加权sobolev空间的框架，定义了空间w^{1,p}(Ω,w)。
其中w是一个属于a_p类的muckenhoupt权函数。
这个空间相比于传统的sobolev空间，能够更好地描述极小曲面在某些退化或奇异区域附近的性态。
我的第一个主要定理是：在这个加权sobolev空间中，高余维极小曲面的拟嵌入序列具有某种紧性。”
“这个紧性定理的证明，依赖于我对almgren的‘多次逼近’技术做的一个关键改进。